Derivabilidad de función a trozos

Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+1 & si & x \leq 1 \\ cos(x-1)\cdot ({ x }^{ 2 }+2) & si & x>1 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+1 & si & x \leq 1 \\ cos(x-1)\cdot ({ x }^{ 2 }+2) & si & x>1 \end{array} \right.$

En $(-\infty,1)$ es derivable y su derivada es $2$

En $(1,+\infty)$ es derivable y su derivada es $-sen(x-1)\cdot(x^2+2)+cos(x-1) \cdot 2x$

Veamos si es derivable en el punto $x=1$

$f^{\prime}(1^-) = 2$

$f^{\prime}(1^+) = -sen(1-1)\cdot(1^2+2)+cos(1-1) \cdot 2 \cdot 1 =2$

Como las derivadas laterales coinciden, es derivable en $x=1$

La derivada de la función es:

$f^{\prime}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2 & si & x \leq 1 \\ -sen(x-1)\cdot(x^2+2)+cos(x-1) \cdot 2x & si & x>1 \end{array} \right.$