Selectividad Andalucía 2001-2-B4

andalucía Ejercicios_Resueltos MatemáticasII_Andalucía_2001 matrices potencia_matrices selectividad

Considera la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right)$

– (a) Siendo $I$ la matriz identidad $3 x 3$ y $O$ la matriz nula $3 x 3$ , prueba que $A^3+I=O$
– (b) Calcula $A^{10}$

SOLUCIÓN

– a) $A^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{array} \right)$

$A^3 = A^2 \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$

$A^3 + I = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

– b) $A^{10} =A^3 \cdot A^3 \cdot A^3 \cdot A =$
$(-I) \cdot (-I) \cdot (-I) \cdot A = -A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -3 & -4\\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{array} \right)$

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