Trigonometría

Calcula seno y coseno de un ángulo del tercer cuadrante sabiendo que su tangente es $\sqrt{3}$

SOLUCIÓN

Conociendo la tangente, se puede hallar el coseno con la fórmula:

$tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

$\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

$3 + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

$4=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

$4 \cdot cos^2(\alpha)=1$

$cos^2(\alpha)=\frac{1}{4}$

$cos(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

Como es del tercer cuadrante el coseno es negativo, por tanto:
$\fbox{cos(\alpha) = - \frac{1}{2}}$

De la fórmula $\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}= tg (\alpha)$ se puede obtener el seno puesto que conocemos coseno y tangente

$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}= tg (\alpha)$

$\frac{sen(\alpha)}{- \frac{1}{2}}= \sqrt{3}$

$sen(\alpha)= - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\fbox{sen(\alpha)=\frac{- \sqrt{3}}{2}}$