ecuaciones logaritmicas y exponenciales

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Resuelve la ecuación $7^{2x+3} - 8 \cdot 7^{x+1} = -1$

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15 de febrero de 2007, 00:43, por dani

$7^{2x+3} - 8 \cdot 7^{x+1} + 1 = 0$

Hacemos el cambio de variable: $7^x = t$
$7^{2x+3} = 7^{2x} \cdot 7^3 = (7^x)^2 \cdot 7^3 = t^2 \cdot 7^3 = 343t^2$
$7^{x+1} = 7^x + 7^1 = 7t$
Sustituimos en la ecuación original:

$343t^2 - 8 \cdot 7t + 1 = 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado (incógnita t)

$343t^2 - 56t + 1 = 0$

$t= \frac{56 \pm \sqrt{56^2 - 4 \cdot 343 \cdot 1}}{2 \cdot 343} = \frac{56 \pm 42}{686}$

$\left[t=\frac{1}{7} \:, \: t=\frac{1}{49} \right]$

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos dos ecuaciones:

– $7^x = \frac{1}{7} \longrightarrow 7^x = 7^{-1} \longrightarrow \fbox{x=-1}$

– $7^x = \frac{1}{49} \longrightarrow 7^x = 7^{-2} \longrightarrow \fbox{x=-2}$