Hallar derivadas laterales

derivada de una función Ejercicios_Resueltos límites

Comprueba si la siguiente función es derivable en el punto $x=0$

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x+1 & si & x \leq 0 \\ \\ x^2+1 & si & x > 0 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Para que sea derivable en $x=0$ deben existir las derivadas laterales y además deben coincidir.

$f\textsc{\char13}(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(0+h+1) - (0+1)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}=1$

$f\textsc{\char13}(0^+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(h^2+1) - (1)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^2}{h}=1\lim_{h \rightarrow 0}h=0$

Las derivadas laterales no coinciden, por tanto no es derivable en $x=0$

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