Operaciones con funciones pares e impares

Sea $P(x)$ una función para y $L(x)$ una función impar. Estudia cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares:

– a) $H(x) = x \cdot L(x) \cdot P(x)$
– b) $H(x) = L(x)+P(x)$

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos recordar los conceptos de simetría (función par e impar).

$\fbox{f(x) par \: \longleftrightarrow f(x)=f(-x)}$
$f(x)$ y $f(-x)$ son iguales

$\fbox{f(x) impar \: \longleftrightarrow f(x)=-f(-x)}$
$f(x)$ y $f(-x)$ son iguales pero de distinto signo

$P(x) \: par \: \longrightarrow P(x)=P(-x)$
$L(x) \: impar \: \longrightarrow L(x)=-L(-x)$

– a) $H(x) = x \cdot L(x) \cdot P(x)$

$H(-x) = -x \cdot L(-x) \cdot P(-x)$
$H(-x) = -x \cdot [-L(x)] \cdot P(x)$
$H(-x) = x \cdot L(x) \cdot P(x)$

$H(x) = H(-x) \longrightarrow H(x)$ es par

– b) $H(x) = L(x)+P(x)$

$H(-x) = L(-x)+P(-x)$
$H(-x) = -L(x)+P(x)$

$H(x) \neq H(-x) \longrightarrow H(x)$ no es ni par ni impar