Sistema 3x3 Gauss

Ejercicios_Resueltos gauss sistema_lineal_3_ecuaciones_3incógnitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{lll} 2x + 3y = 14 \\ 2x - y - z = 9 \\ x -2y + z = -3 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

$\left\{ \begin{array}{lll} 2x + 3y = 14 \\ 2x - y - z = 9 \\ x -2y + z = -3\end{array} \right. \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 0 & 14 \\ 2 & -1 & -1 & 9 \\ 1& -2& 1 & -3\end{array} \right)$

Intercambiamos las filas 1 y 3

$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 0 & 14 \\ 2 & -1 & -1 & 9 \\ 1& -2& 1 & -3\end{array} \right) F_1 \leftrightarrow F_3 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & -1 & 9 \\ 2& 3& 0 & 14\end{array} \right)$

$2 \cdot F_1 - F_2 \longrightarrow F_2$
$2 \cdot F_1 - F_3 \longrightarrow F_3$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & -15 \\ 0& -7& 2 & -20 \end{array} \right)$

Observamos que en la segunda fila todos son múltiplos de 3. Podemos dividir por 3 para simplificar cálculos
$\frac{F_2}{3} \longrightarrow F_2 \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 & -5 \\ 0& -7& 2 & -20 \end{array} \right)$

Finalmente hacemos $7 \cdot F_2 - F_3 \longrightarrow F_3$
$\frac{F_2}{3} \longrightarrow F_2 \quad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 & -5 \\ 0& 0& 5 & -15 \end{array} \right)$

Pasamos a ecuaciones y resolvemos de abajo hacia arriba

$\left. \begin{array}{rrr} x -2y + z = -3 \\ - y + z = -5 \\ 5z = -15\end{array} \right\}$

$5z = -15 \longrightarrow z = \frac{-15}{5} \longrightarrow \color{red}{z =-3}$

$- y + z = -5 \longrightarrow -y-3=-5 \longrightarrow \color{red}{y =2}$

$x -2y + z = -3 \longrightarrow x -2\cdot 2 -3 = -3 \longrightarrow \color{red}{x =4}$

Comentar el ejercicio